告诉大家一个秘密,小编上课时很少备课,尤其是习题课,那怕是高三,因为对于大多习题我可以秒解或者瞬间有解题思路的,不会影响正常的教学,但是偶尔也会遇见尴尬。譬如说前天,小编在学校带高三数学,目前正紧张地进行一轮复习,在前天上课过程中遇见这样一道习题:
这是2015年浙江卷的一道选择题,说实话,我个人一直认为在全国各个版本的高考卷中,浙江卷是最变态的,在思考片刻后,没有解题思路,突然想到AP形成的不就是一个圆锥的侧面吗?而P点在平面上,实际上就是用平面去截圆锥侧面得到的截面,可是从不同的角度去截圆锥得到是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支或者它们的一部分,可具体是什么,就不得而知了,记得教材选修4-1中有介绍,打开课本看到这样一段话:
按照这个理论很轻松可以得到:圆锥母线与圆锥的轴夹角为30°,平面与轴夹角为60°,因为60°>30°,所以截面即点P的轨迹是椭圆。
说实话这个结论小编看到过,也记过,但是好久没有用到,就容易混淆,小编不喜欢一些纯理论的记忆,如何巧妙的记忆以至于不容易混淆,我们先来把这一理论平面截圆锥问题降维到二维空间,可得到直线截两条相交直线的一般结论。
在平面中,如图,直线b与直线a夹角为α,彩色直线c、d、e与直线a夹角为β,
(1)、直线c(红色)中,β>α,直线c在阴影部分为线段。
(2)、直线d(绿色)中,β=α,直线d在阴影部分为一条射线。
(3)、直线e(蓝色)中,β<α,直线e在阴影部分为两条射线。(图形比较乱,体会意思,呵呵)
类似地,若将相交直线拓广圆锥曲面、直线拓广到平面、则线段拓广到椭圆、一条射线拓广到抛物线、两条射线拓广到双曲线。那么在三维空间中,结合前面的分析,可以得到以上定理2。
这一结论可以由丹迪林(dandelin)双球轻松证明,在此不过多解释。作图如下,感兴趣的学生可以看看选修4--1第49页的证明过程。
讲完这种解题思路,总觉得不是很完美,作为一道选择题,应该能够用其他更简单的方法完成,拿着教学用的三角板在讲台桌上旋转片刻后得到另一解法:
因为这是一道选择题,而且答案唯一,所以可以采取排除法来寻找答案。如图若记点A在平面中射影为H,则∠HAB=30°,所以点H在轨迹上,连接HB并延长到C,使得AB=BC,则∠ACB=30°,所以点C也在轨迹上,易知在HC的两侧有点P、Q在轨迹上,在运动过程中点P从点H经过点P到点N,在经过点Q回到点H,必为封闭图形,因此排除选项A、B、D。
可是我仍觉得意犹未尽,这道题应该还有解析法,下课后急忙去寻找标准答案,答案解析中给的就是我讲的第一种方法。
课后我尝试利用解析法解决问题,一开始走了弯路,猜想点B是椭圆的焦点或者中心,均以失败而告终!今天尝试一般解法,建立空间直角坐标系,用向量知识解决,现将过程分享给大家!