2，3，5，7，11， 13，17 ，19，23……看着这些素数，很熟悉，但时常又觉得很陌生。它们就像自己的名字，简单的存在着，只有一个书童1和自己的影子，它们在无穷的数轴上，形单影只地站立着，素面朝天。有些时候我觉得，自己就是一个孤独的质数，喜欢沉浸在自己的思绪中，沉溺在自己的世界里，时常觉得不能被他人理解，不能被这个世界所容纳，又或者是自己不能兼容这个世界上的太多人，太多事！
多少数论是"数学中的皇冠"，而质数，是"数论中的灵魂"。那么为什么质数这么重要呢？这是因为质数是其他数字的"基本构件"，质数（素数）本身不能再进一步分解成一些更小的正整数乘积，因此在此意义下，它是最基本的、不可分割的数，是构成其他整数的"基本元素"。而这么重要的"基本元素"，人们却至今未找到一个可以表示或计算所有质数的公式，甚至连判断一个大数是否是质数都很困难！
素数是只能被1和它本身整除的自然数，如2，3，5，7，11， 13，17 ，19，23……，也被称为质数。如果一个自然数不仅能被1和它本身整除，还能被别的自然数整除，就叫作合数。而1既不是质数，也不是合数。全体的自然数可分为四类：0，1.质数，合数。合数至少有三个因数：1、它本身、别的因数。注意：1和0既不是质数也不是合数．最小的质数是2，也是唯一的质偶数，如果考到了质合数那么在很大程度上会考2的运用，4是最小的合数，这些基本的知识点掌握清楚了以后咱们通过几道题来加深对质合数问题的理解，这一点往往是破解质数问题突破口。
人们一般把整数看成最基本的数，其他的数都由整数衍生出来。但是专门研究整数的人却不是这么看，他们认为质数才是最基本的数，因为任何大于1的正整数，若他不是质数，便是若干质数的积，这叫作分解质因数。因此素数可说是构成整个自然数大厦的砖瓦。
他叫埃拉托斯特尼，大概生于芈月、白起、秦始皇爷爷的那个年代的古希腊。在那个年代，他就计算出了地球的周长，误差大概在2%，我们现在熟悉的英文单词geography（地理学）也是出自他，是他引入了这个名字来表示研究地球的学问。
说这些的意义很明显，就是为了证明这个帅哥很帅很伟大！就是这个人发明了关于数论中有名的筛法。埃拉托斯特尼把一张写著自然数列的羊皮纸紧在一个框上，然后用刀子逐一挖掉2的倍数、3的倍数、5的倍数等等，从而列出了前面的几个质数。这个方法就是小学课堂里经常引用的方法，却很少有人知道它是由埃拉托斯特尼发明的。由于挖去了合数后，羊皮纸上留下了一个一个的洞眼，使整个羊皮纸犹如一个筛子，合数好像都通过筛子筛掉了，而质数则保留了下来，因此后人就称这种寻找质数的方法叫埃拉托斯特尼筛法。不过，用这样的方法找出质数毕竟不是一件容易的事。82岁那年，他失明了，一年后绝食而死。
在爱拉托散尼发明筛法不久，古希腊数学界出现了一场关于质数是有限还是无限的辩论。有人说是有限的，有人说是无限的，却都无法给出一个科学的证明！
一天，柏拉图的得意门生，亚历山大里亚大学数学教授欧几里得(Euclid)发现了一个质数有无限多个的证明，给这一场辩论画了一个圆满的句号,而且他给出的证明十分简单，连现在的小学生都能理解。
证明一个给定数字是质数长久以来被应用于证明计算能力，最初都是被专家用来表演心算的天赋，后来被应用于测试电子计算机的计算能力！自20世纪70年代末以来，质数已经具有巨大的商业意义，因为它们构成了RSA加密算法的核心，被广泛用于金融交易的保护。
粗略来讲，RSA加密系统基于这样的事实：没有快速的方法能将一个很大的数分解成两个类似大小的质数，因此可以将两个大数的乘积公开作为加密密钥。虽然许多人认为这是真的，但仍然缺乏坚实的证据。鉴于利害关系，这也许会令人很不安——因为这相当于一个银行宣称肯定没有人会找到底下放有安全钥匙的垫子。就在2016年的第一个星期，美国密苏里中央大学数学家柯蒂斯·库珀发现了第49个"梅森素数"。它是迄今为止最大的素数——"2的74207281次方减1"，有2200多万位，如果用普通字号打印出来，长度将超过65公里。
他是一个富二代，曾在牛津大学学习法学；他是是一个中学教师，学生是沙皇俄国彼得二世；
他是一个旅游爱好者，旅游的过程中结识了很多的数学爱好者，在他的朋友中有我们熟悉的伯努利家族——一个家族的一大群数学家，有莱布尼兹——跟牛顿同时创造了微积分学，跟牛顿打过官司，也有牛人欧拉！每一个都是享誉世界的大牛级数学家！所以一句话说的很好，你即你所在！
有一天，他在看小学数学课本，发现小学书上有这样的题目：把下面的数拆成两个质数相加得形式！于是他就开始拆着玩：4=2+2；5=2+3；6=3+3，7=2+5；8=3+5；……他算着算着，就开始兴奋了，收不住脚，他发现： 一个大于4的奇数如果拆成两个质数相加，其中一定有一个是偶数2， 而一个大于4的偶数似乎都能拆成两个质数之和.他想破了脑筋也没有想明白这到底是不是对的.
于是他拿起笔来，给欧拉写了一封信，在信中，他写道：哥们，我遇到了一个死难死难的问题，你帮我看看呗！我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。
这样，我发现：任何大于9的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。" 欧拉回信说："哥们，这个命题看来是正确的，但是我也证明不出来"。
同时欧拉又提出了此猜想可以有另一个等价的版本：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
从此,这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠".
一个个素数，就那么静静地存在着，有些相隔千里，有些仅有一数之遥，每一个他们都在自己的王国中孤独着，守候着自己的那一份秘密。或许有一天，有某一个人不经意闯入了他的世界，与他一起绽放出震撼世界的光芒！
在找出素数之后，数学家想，能不能有一种方式能解决所有素数的分布或者素数的计算公式呢？遗憾的是，质数的分布是没有规律的。"哥德巴赫猜想""孪生素数""黎曼猜想"这些著名猜想都对素数的分布提出了阐述，但是至今也没有完全被证明。
对于我们现在可以相对轻快求解如下问题
1.小丽家的电话号码是由8个数字组成，第一个数字是最小的合数，第二个数字是最小的自然数，第三个数字是最小的质数，第四个数字是5的最小倍数，第五个数字是7的最小因数，第六个数字是一位数中最大的奇数，第七个数字是最小偶数，第八个数字是和2相邻的质数，电话号码是 ．
【解析】本题主要根据奇数、偶数、质数、合数、因数与倍数的意义进行推理．根据对数字特征的描述进行推理：
第一个数字是最小的合数，是4；第二个数字是最小的自然数，是0；第三个数字是最小的质数，是2；第四个数字是5的最小倍数，是5；第五个数字是7的最小因数，是1；第六个数字是一位数中最大的奇数，是9；第七个数字是最小偶数，是0；第八个数字是和2相邻的质数，是3．据此写出这个号码即可．所以这个电话号码是：40251903．故答案为：40251903．
请用以上方法解决下列问题：
（1）请用"N法"判断619是质数还是合数？
（2）求有18个约数的最小自然数．
【解析】本题考查数的规律；能够读懂材料，将所求转化为材料内容是解题的关键．
（1）第一步，619＜625＝25²；第二步，小于25的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，23，用2、3、5、7、11、13、17、19，23，依次去除619；第三步，发现没有质数能整除619，所以619是质数；
（2）18＝2×9＝1×18＝3×6，
∵2×9＝（1+1）（8+1），1×18＝（0+1）（17+1），3×6＝（2+1）（5+1），
【解析】由于a、b的关系不明确，故应分a＝b和a≠b两种情况讨论，
总结：试除法，是从质数定义推导出来的最基本的判断方法。而实际应用中，还有其他一些方法可以帮助我们判断一个数是否为质数，比如利用奇偶性：一个质数的2倍必定是偶数；一个偶数加上另外一个偶数是偶数，等等。