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分桃(分桃影院)

时间:2022-04-05 20:30:16 浏览:48次 作者:用户投稿 【我要投诉/侵权/举报 删除信息】

上期《五猴分桃,你能解这个题目吗?(上期)》我们说到张景中院士在文中介绍了五猴分桃问题的两个解法。

本期我们将在后面补充两个解法,它们没有本质的不同,但观点有差别,侧重点也有所不同,仅供读者交流探讨。

解法一

这个解法摘译自哈尔莫斯的一篇通俗文章(全文将发表在丘成桐教授主编的“数学与人文”丛书某一期),译者是中国传媒大学的陈见柯教授。

分桃

狄拉克

狄拉克的解法可以称之为特征向量法或不动点法,如下:

假定桃子的个数为x,考虑任一猴子处理完桃子之后,剩下的桃子数量S(x)。 这个公式相对简单,即

分桃

我们称整数x是一个解,如果用算子S操作5次以后的数为正整数。换言之,我们要找满足上述条件的最小正整数解。

注意到

分桃

我们有

分桃

因此

分桃

对一切x和y都成立。这意味着如果x和y都是解,则x和y模5的5次方同余(即,x与y的差被5的5次方整除)。反之,若x是一个解,并且y跟x模5的5次方同余,则y也是一个解。

最容易想到的解,应该是对应于特征方程

分桃

的特征向量,其解为

分桃

因此最小的正整数解为

分桃

注意:不变量(不动点、特征值、特征向量)的概念,或许是数学基本元素之一。

(作者:哈尔莫斯(Halmos))

解法二

回到最开始的方程,那里要求解方程

分桃

的正整数解,这是两个未知数x,y的一次方程。我们将它化成标准形式,即得

分桃

回想起这方程的如何来的,可以发现,实际上我们选取中间一步得到的方程

分桃

来观察更可取。这意味着

分桃

是方程的一个特解,要得出方程的所有解,只需要考察对应的齐次方程

分桃

由于这两个系数1024与3125互素,所以容易得到,该齐次方程的通解为

分桃

其中k为任意的整数。从而原方程的通解为

分桃

其中k为任意的整数。特别地,为得到最小正整数解,只需要令k=1,这就得到

分桃

(作者:林开亮)

至此,我们这一期的讲解就算结束了,不过我相信聪明的读者还会有更多其他的解法的,可以在QQ群里与我们交流哦!

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图文选自:

好玩的数学(ID:mathfun)

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责任编辑:一毫秒的永恒

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